欧拉公式的由来和证明推导过程

欧拉公式的由来

在复数世界中，当我们集成三角表达式时，我们很可能会遇到所谓的欧拉公式。这个强大的方程式以传奇的数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名。Euler公式，是Leonhard Euler的两个重要数学定理之一。在三角函数中使用的第一个公式，也称为欧拉恒等式，表示e ^i x = cos x + i sin x，其中e是自然对数的底数，而i是-1的平方根（请参阅 无理数）。当X是等于π或2π，式产生与π，2个优雅表达式ë，和我：ë我π= -1和ë 2我π = 1，分别。第二个也称为Euler多面体公式，是与任何多面体的面，顶点和边的数量相关的拓扑不变性（请参见 拓扑）。记为F + V = E + 2，其中F是面的数量，V是顶点的数量，E是边的数量。例如，一个立方体有6个面，8个顶点和12个边，并满足此公式。

我们将研究Euler公式如何使我们将复数表示为指数，并探索相对容易地建立复数的不同方法。

此外，我们还将考虑它的几种应用，例如欧拉恒等式的特殊情况，复数的指数形式，关键函数的替代定义以及de Moivre定理和三角可加恒等式的替代证明。

欧拉公式的解释：简介，解释和示例

那么，欧拉公式到底是什么？简而言之，该定理表明：

e ^i x = cos x + i sin x

在哪里：

• X是一个实数。
• Ë是自然对数的底。
• 一世是虚数单位（即，的平方根）-1个）。

欧拉公式建立了三角函数和指数函数之间的基本关系。在几何上，可以将其视为在复平面中桥接相同单位复数的两个表示的一种方式。

让我们看一下Euler公式的一些关键值，并看一下它们如何对应于三角/单位圆中的点：

• 为了 X=0， 我们有 Ë0=cos⁡0+一世罪⁡0， 这使 1个=1个。到目前为止一切顺利：我们知道0 在三角圆上是 1个 在实轴上，这就是我们得到的结果。
• 为了 X=1个， 我们有 Ë一世=cos⁡1个+一世罪⁡1个。这个结果表明Ë一世精确地是单位圆上的角度为1弧度的点。
• 为了 X=π2个， 我们有 Ë一世π2个=cos⁡π2个+一世罪⁡π2个=一世。该结果在与物理有关的某些计算中很有用。
• 为了 X=π， 我们有 Ë一世π=cos⁡π+一世罪⁡π， 意思就是 Ë一世π=-1个。这个结果等同于著名的欧拉身份。
• 为了 X=2个π， 我们有 Ë一世（2个π）=cos⁡2个π+一世罪⁡2个π， 意思就是 Ë一世（2个π）=1个，与 X=0。

理解欧拉公式的关键在于如下重写公式：（Ë一世）X=罪⁡X+一世cos⁡X在哪里：

• 可以将右手表达式视为带角度的单位复数X。
• 左手表达式可以认为是将1弧度单位复数提高为X。

并且由于将单位复数提高为幂可以被视为重复的乘法（即，在这种情况下为相加角），因此欧拉公式可以解释为围绕单位圆到达同一点的两种不同方式。

派生

欧拉公式至少可以通过三种方式建立。一阶推导基于幂级数，其中指数，正弦和余弦函数作为幂级数展开，得出该公式确实成立。

欧拉公式的第二个推导基于微积分，其中将方程的两边都视为函数并进行相应的微分。然后，这导致了对公共属性的识别-可以利用该属性来表明两个功能确实相等。

欧拉公式的另一个推导涉及在复平面中使用极坐标，通过该极坐标可以得到[R 和 θ随后被发现。实际上，您仅通过查看公式本身就可以猜测这些值是什么！

派生1：功率系列

欧拉公式最直观的推导之一就是使用幂级数。它在于扩展指数，正弦和余弦的幂级数-最终得出等式成立的结论。

需要说明的是，这种方法假设幂级数展开式为 罪⁡ž， cos⁡ž， 和 Ëž到处都是绝对收敛的（例如，它们适用于所有复数）ž）。但是，它还具有显示欧拉公式适用于所有复数的优点ž 也一样

对于复杂的变量 ž的幂级数展开的Ëž 是Ëž=1个+ž1个！+ž2个2个！+ž33！+ž44！+⋯现在，让我们来 ž 成为 一世X （在哪里 X是任意复数）。作为ž 被提升到越来越大的力量， 一世也被提升到越来越大的力量。该前八对权力的一世 看起来像这样：（根据定义 ）一世0=1个一世4=一世2个⋅一世2个=1个一世1个=一世一世5=一世⋅一世4=一世一世2个=-1个（根据定义 一世）一世6=一世⋅一世5=-1个一世3=一世⋅一世2个=-一世一世7=一世⋅一世6=-一世（注意周期性的权力一世： 1个， 一世， -1个， -一世。我们将很快使用这些功能。）

和 ž=一世X，扩展 Ëž 变成：Ë一世X=1个+一世X+（一世X）2个2个！+（一世X）33！+（一世X）44！+⋯提取力量 一世，我们得到：Ë一世X=1个+一世X-X2个2个！-一世X33！+X44！+一世X55！-X66！-一世X77！+X88！+⋯并且自从幂级数展开以来 Ëž是绝对收敛的，我们可以在不改变其价值的情况下重新排列其条件。将实项和虚项组合在一起便得出：Ë一世X=（1个-X2个2个！+X44！-X66！+X88！-⋯）+一世（X-X33！+X55！-X77！+⋯）现在，让我们绕道而行，看看正弦 和 余弦的幂级数。电源系列cos⁡X 是cos⁡X=1个-X2个2个！+X44！-X66！+X88！-⋯而对于 罪⁡X， 这是罪⁡X=X-X33！+X55！-X77！+⋯换句话说，我们拥有的最后一个方程正好是Ë一世X=cos⁡X+一世罪⁡X这就是我们一直在寻找的欧拉公式的陈述。

推导2：微积分

建立欧拉公式的另一种巧妙方法是同时考虑两者 Ë一世X 和 cos⁡X+一世罪⁡X作为功能的X，然后区分它们以找到关于它们的一些共同属性。

为了做到这一点，必须假设这些功能 Ëž， cos⁡X 和 罪⁡X为所有实数定义和可区分X 和复数 ž。通过假设这些函数对于所有复数都是可微的，也有可能证明欧拉公式也适用于所有复数。

首先，让 F1个（X） 和 F2个（X） 是 Ë一世X 和 cos⁡X+一世罪⁡X， 分别。差异化 F1个然后通过链式规则得出：F1个′（X）=一世Ë一世X=一世F1个（X）同样，区别 F2个 还产生：F2个′（X）=-罪⁡X+一世cos⁡X=一世F2个（X）换句话说，两个函数都满足微分方程 F′（X）=一世F（X）。现在，考虑功能F1个F2个，这是对所有对象定义明确的X （自从 F2个（X）=cos⁡X+一世罪⁡X对应于单位圆上的点，永远不会为零）。解决之后，在该函数上使用商规则，将得出：（F1个F2个）′（X）=F1个′（X）F2个（X）-F1个（X）F2个′（X）[F2个（X）]2个=一世F1个（X）F2个（X）-F1个（X）一世F2个（X）[F2个（X）]2个=0由于这里的导数是 0，这意味着该功能 F1个F2个首先必须是一个常数。这个常数的值是多少？让我们通过插入来弄清楚X=0 进入功能：（F1个F2个）（0）=Ë一世0cos⁡0+一世罪⁡0=1个换句话说，我们必须所有人都拥有 X：（F1个F2个）（X）=Ë一世Xcos⁡X+一世罪⁡X=1个在移动之后 cos⁡X+一世罪⁡X 在右边，成为我们一直在寻找的著名公式。

推导3：极坐标

欧拉公式的又一个巧妙的证明涉及将指数视为数字，或更具体地说，将其视为极坐标下的复数。

确实，我们已经知道，所有非零复数都可以以独特的方式在极坐标中表示。特别是任何形式的表格Ë一世X （与真实 X）（非零）可以表示为：Ë一世X=[R（cos⁡θ+一世罪⁡θ）在哪里 θ是它与正实轴的主角（例如，0≤θ<2个π）， 和 [R是它的半径（[R>0）。我们不对的值做任何假设[R 和 θ，但事实是它们是 X （可能包含也可能不包含 X作为变量）。它们将在证明过程中确定。

（但是，我们知道的是 X=0，左侧是 1个，这意味着 [R 和 θ满足初始条件的[R（0）=1个 和 θ（0）=0， 分别。）

对于什么是价值，我们将通过开始区分等式的两边。通过指数的定义，相对于X 产量 一世Ë一世X。在微分方程式的右边之后，方程式变为：一世Ë一世X=d[RdX（cos⁡θ+一世罪⁡θ）+[R（-罪⁡θ+一世cos⁡θ）dθdX我们正在寻找一种在以下方面具有独特性的表达方式： [R 和 θ。摆脱Ë一世X，我们换回 [R（cos⁡θ+一世罪⁡θ） 为了 Ë一世X 要得到：一世[R（cos⁡θ+一世罪⁡θ）=（cos⁡θ+一世罪⁡θ）d[RdX+[R（-罪⁡θ+一世cos⁡θ）dθdX到达那里后，分发 一世 然后在左侧产生：[R（一世cos⁡θ-罪⁡θ）=（cos⁡θ+一世罪⁡θ）d[RdX+[R（-罪⁡θ+一世cos⁡θ）dθdX分别将虚部和实部相等，我们得到：一世[Rcos⁡θ=一世罪⁡θd[RdX+一世[Rcos⁡θdθdX和-[R罪⁡θ=cos⁡θd[RdX-[R罪⁡θdθdX我们在这里是一个系统，两个方程和两个未知数，其中d[R/dX 和 dθ/dX是变量。我们可以通过几个步骤解决它。首先，通过分配α 至 d[R/dX 和 β 至 dθ/dX，我们得到：（一世）（二）（一世）[Rcos⁡θ=（罪⁡θ）α+（[Rcos⁡θ）β（二）-[R罪⁡θ=（cos⁡θ）α-（[R罪⁡θ）β其次，将（I）乘以 cos⁡θ 和（II）由 罪⁡θ，我们得到：（三）（四）（三）[Rcos2个⁡θ=（罪⁡θcos⁡θ）α+（[Rcos2个⁡θ）β（四）-[R罪2个⁡θ=（罪⁡θcos⁡θ）α-（[R罪2个⁡θ）β这些操作的目的是消除 α 通过执行（III）–（IV），当我们这样做时，我们得到：[R（cos2个⁡θ+罪2个⁡θ）=[R（cos2个⁡θ+罪2个⁡θ）β自从 cos2个⁡θ+罪2个⁡θ=1个，出现了一个更简单的方程式：[R=[Rβ由于 [R>0 对所有人 X，这意味着 β -我们已经设定为 dθ/dX —等于 1个。

到达该位置后，将结果代入（I）和（II）并进行一些抵消，我们得到：0=（罪⁡θ）α0=（cos⁡θ）α这意味着 α -我们已经设定为 d[RdX —必须等于 0。

从事实 d[R/dX=0，我们可以推断出 [R必须是一个常数。同样，从事实dθ/dX=1个，我们可以推断出 θ=X+C 对于一些常数 C。

但是，由于 [R满足初始条件 [R（0）=1个，我们必须拥有 [R=1个。同样，因为θ 满足初始条件 θ（0）=0，我们必须拥有 C=0。那是，θ=X。

和 [R 和 θ 现在已经确定，我们可以将它们插入原始方程式并获得：Ë一世X=[R（cos⁡θ+一世罪⁡θ）=cos⁡X+一世罪⁡X正如预期的那样，这正是欧拉实数公式的陈述 X。

应用领域

作为数学中最重要的方程式之一，欧拉公式无疑在不同主题中都有其有趣的应用领域。其中包括：

• 著名的欧拉身份
• 复数的指数形式
• 三角函数和双曲函数的替代定义
• 将指数和对数函数推广为复数
• de Moivre定理和三角可加恒等式的替代证明

欧拉的身份

欧拉的恒等式通常被认为是数学中最美丽的方程式。它写为

Ë一世π+1个=0

它展示了数学中最重要的五个常数。这些都是：

• 该添加剂的身份 0
• 该统一 1个
• 该丕恒 π （圆的周长与其直径之比）
• 的自然对数的基地 Ë
• 的虚数单位 一世

其中，代表三种类型的数字：整数，无理数和虚数。还表示了三个基本的数学运算：加法，乘法和乘幂。

我们从欧拉公式开始获得欧拉的身份Ë一世X=cos⁡X+一世罪⁡X并通过设置 X=π 并发送后续 -1个到左侧 中间形式Ë一世π=-1个在复平面中的三角单位圆的上下文中是常见的：它对应于单位圆上相对于正实轴的角度为π。

指数形式的复数

至此，我们已经知道复数 ž可以用笛卡尔坐标表示为X+一世ÿ， 在哪里 X 和 ÿ 分别是的实部和虚部 ž。

实际上，相同的复数也可以用极坐标表示为[R（cos⁡θ+一世罪⁡θ）， 在哪里 [R 是它到原点的距离的大小，并且 θ 是它相对于正实轴的角度。

但这还不止于此：由于有了欧拉公式，现在每个复数都可以表示为复指数 ，如下所示：

ž=[R（cos⁡θ+一世罪⁡θ）=[RË一世θ

在哪里 [R 和 θ 与以前的数字相同。

从 （X，ÿ） 至 （[R，θ），我们使用公式[R=X2个+ÿ2个θ=阿坦2⁡（ÿ，X）（在哪里 阿坦2⁡（ÿ，X）是两个参数的反正切函数与阿坦2⁡（ÿ，X）=Arctan⁡（ÿX） 每当 X>0）

反之，从 （[R，θ） 至 （X，ÿ），我们使用以下公式：X=[Rcos⁡θÿ=[R罪⁡θ复数的指数形式也使得乘以复数容易得多-就像同样的方式直角坐标使另外更容易。例如，给定两个复数ž1个=[R1个Ë一世θ1个 和 ž2个=[R2个Ë一世θ2个，我们现在可以将它们相乘，如下所示：ž1个ž2个=[R1个Ë一世θ1个⋅[R2个Ë一世θ2个=[R1个[R2个Ë一世（θ1个+θ2个）本着同样的精神，我们还可以将两个相同的数字除以如下：ž1个ž2个=[R1个Ë一世θ1个[R2个Ë一世θ2个=[R1个[R2个Ë一世（θ1个-θ2个）

如果我们使用矩形 X+一世ÿ取而代之的是，相同的除法将需要乘以分子和分母中的复共轭。对于极坐标，情况将是相同的（可能更糟）。

如果有的话，指数形式肯定可以使我们更容易看到，将两个复数相乘与将幅度相乘和相加角实际上是相同的，将两个复数相除与将幅度相乘并相减得出的角确实相同。

关键功能的替代定义

欧拉公式还可用于为关键函数（例如复数指数函数），三角函数（例如正弦，余弦和正切）及其双曲线对应项提供替代定义。它也可以用来建立这些功能之间的关系。

复指数函数

首先，回想一下欧拉的公式指出Ë一世X=cos⁡X+一世罪⁡X如果假定该公式对实数成立 X仅指数函数才定义为虚数。但是，我们还可以通过简单的技巧将指数函数扩展为包括所有复数：

Ëž=ËX+一世ÿ（=ËXË一世ÿ）=dFËX（cos⁡ÿ+一世罪⁡ÿ）

换句话说，复数的指数 X+一世ÿ只是其数量级为的复数ËX谁的角度是ÿ。有趣的是，这意味着复指数本质上将垂直线映射到圆。这是说明这一点的动画：

三角函数

除了扩展指数函数的域外，我们还可以使用欧拉公式为反角导出相似的方程 -X：Ë-一世X=cos⁡X-一世罪⁡X该方程式与Euler公式本身一起构成了一个方程式系统，我们可以从中分离出正弦函数和余弦函数。

例如，通过减去 Ë-一世X 来自的等式 Ë一世X 等式，余弦抵消并除以 2个一世，我们得到正弦函数的复杂指数形式：

罪⁡X=Ë一世X-Ë-一世X2个一世

同样，通过将两个方程式相加，可消除正弦并除以 2个，我们得到余弦函数的复杂指数形式：

cos⁡X=Ë一世X+Ë-一世X2个

可以肯定的是，下面的视频更详细地说明了相同的派生。

另一方面，切线函数定义为罪⁡Xcos⁡X，因此就复杂的指数而言，它变为：

棕褐色⁡X=Ë一世X-Ë-一世X一世（Ë一世X+Ë-一世X）

如果证明欧拉公式对所有复数都成立（就像我们通过幂级数在证明中所做的那样），那么这三个公式也同样适用。它们的存在使我们可以在三角函数和复杂指数之间自由切换，这在计算导数和积分时是一个很大的优势。

双曲函数

除了三角函数外，双曲函数是可以根据复指数定义的另一类函数。实际上，通过这种连接，我们可以识别与三角函数相对应的双曲函数。

例如，从复杂的正弦和复杂的余弦开始，然后插入一世ž （并利用以下事实 一世2个=-1个 和 1个/一世=-一世）， 我们有：罪⁡一世ž=Ë一世（一世ž）-Ë-一世（一世ž）2个一世=Ë-ž-Ëž2个一世=一世（Ëž-Ë-ž2个）=一世辛⁡žcos⁡一世ž=Ë一世（一世ž）+Ë-一世（一世ž）2个=Ëž+Ë-ž2个=柯什⁡ž从这些，我们也可以插入 一世ž进入复杂的切线并得到：棕褐色⁡（一世ž）=罪⁡一世žcos⁡一世ž=一世辛⁡ž柯什⁡ž=一世谭⁡ž简而言之，这意味着我们现在可以根据三角函数来定义双曲函数，如下所示：

辛⁡ž=罪⁡一世ž一世柯什⁡ž=cos⁡一世ž谭⁡ž=棕褐色⁡一世ž一世

但是，这些并不是我们可以提供新定义的唯一功能。实际上，根据欧拉公式，复数对数和一般复数指数是我们可以定义的另外两类函数。

复数对数和一般复数指数

与实数的对数相比，复数的对数表现出特殊的行为。更具体地说，它具有无限数量的值而不是一个。

为了了解如何操作，我们首先将对数函数定义为指数函数的逆函数。那是：Ëln⁡ž=žln⁡（Ëž）=ž此外，我们还知道对于任何复数对 ž1个 和 ž2个，指数的加法性质为：Ëž1个Ëž2个=Ëž1个+ž2个因此，当将非零复数表示为指数时，我们具有：ž=|ž|Ë一世ϕ=Ëln⁡|ž|Ë一世ϕ=Ëln⁡|ž|+一世ϕ在哪里 |ž| 是的大小 ž 和 ϕ 是的角度 ž从正实轴开始。而且由于对数只是数字的指数，当对数升为Ë，以下定义是按顺序进行的：ln⁡ž=ln⁡|ž|+一世ϕ首先，这似乎是定义复数对数的一种可靠方法。但是，再看一遍，则发现以这种方式定义的对数可以采用无限数量的值-这是因为ϕ 也可以选择其他任意形式的形式 ϕ+2个πķ （在哪里 ķ 是一个整数）。

例如，我们从较早的时候已经看到 Ë0=1个 和 Ë2个π一世=1个。这意味着可以定义1个 两者都 0 和 2个π一世 —或任何形式的表格 2个πķ一世 为此（在哪里 ķ 是一个整数）。

为了解决这个难题，通常使用两种单独的方法。第一种方法是简单地将复数对数视为一个多值函数。即，将每个输入映射到一组值的函数。实现此目的的一种方法是定义ln⁡ž 如下：{ln⁡|ž|+一世（ϕ+2个πķ）}在哪里 -π<ϕ≤π 和 ķ是一个整数。在这里，该子句-π<ϕ≤π 具有限制角度的作用 ž仅限一位候选人。因此，ϕ以这种方式定义通常被称为主角度的ž。

第二种方法（可以说更优雅）是简单地定义的复数对数。 ž 以便 ϕ 是...的主角 ž。有了这样的理解，原始的定义便变得清晰起来：

ln⁡ž=ln⁡|ž|+一世ϕ

例如，根据这一新规则，我们将拥有 ln⁡1个=0 和 ln⁡一世=ln⁡（Ë一世π2个）=一世π2个。我们不再受制于角度周期性的问题！

但是，由于限制 -π<ϕ≤π，复数对数的范围现在减小到矩形区域 -π<ÿ≤π（即主体分支）。而且，如果我们想保留对数与指数之间的逆关系，我们还需要对指数函数的域进行同样的处理。

但是，由于复数对数现已定义明确，因此我们也可以基于它定义许多其他内容，而不会产生歧义。这样的例子就是通用复数指数（基数为非零）一种），其定义如下：

一种ž=Ëln⁡（一种ž）=dFËžln⁡一种

例如，使用上面定义的一般复指数，我们现在可以了解 一世一世 实际上意味着：一世一世=Ë一世ln⁡一世=Ë一世π2个一世=Ë-π2个≈0.208

De Moivre定理和三角可加恒等式的交替证明

该定理称为de Moivre定理，该定理指出：

（cos⁡X+一世罪⁡X）ñ=cos⁡ñX+一世罪⁡ñX

在哪里 X 是一个实数， ñ是一个整数。默认情况下，通过归纳可以证明这是正确的（通过使用某些三角恒等式），但是借助欧拉公式，现在存在一个更简单的证明。

首先，请记住，指数的乘性表示（Ëž）ķ=Ëžķ虽然此属性通常不适用于复数，但在以下情况下确实适用： ķ是一个整数。确实，不难发现在这种情况下，数学本质上可以归结为对指数的加性的重复应用。

解决了这些问题之后，我们可以轻松得出de Moivre定理，如下所示：（cos⁡X+一世罪⁡X）ñ=（Ë一世X）ñ=Ë一世ñX=cos⁡ñX+一世罪⁡ñX在实践中，这个定理是常用的寻找根复数的，并获得封闭形式表达的罪⁡ñX 和 cos⁡ñX。通过将升为高阶的函数简化为简单的三角函数，可以做到这一点-从而可以轻松进行计算。

实际上，de Moivre定理不是唯一可以通过Euler公式简化证明的定理。其他身份，如添加剂的身份为罪⁡（X+ÿ） 和 cos⁡（X+ÿ），也可以从该效果中受益。

确实，我们已经知道 X 和 ÿ：cos⁡（X+ÿ）+一世罪⁡（X+ÿ）=Ë一世（X+ÿ）=Ë一世X⋅Ë一世ÿ=（cos⁡X+一世罪⁡X）（cos⁡ÿ+一世罪⁡ÿ）=（cos⁡Xcos⁡ÿ-罪⁡X罪⁡ÿ）+一世（罪⁡Xcos⁡ÿ+cos⁡X罪⁡ÿ）到达那里后，将两边的实部和虚部相等，然后得出我们一直在寻找的著名身份：

cos⁡（X+ÿ）=cos⁡Xcos⁡ÿ-罪⁡X罪⁡ÿ罪⁡（X+ÿ）=罪⁡Xcos⁡ÿ+cos⁡X罪⁡ÿ

结论

从上面可以看出，欧拉公式是数学领域中不可多得的瑰宝。它建立了指数函数和三角函数之间的基本关系，并为复数，复函数和相关理论的世界发展铺平了道路。

的确，无论是欧拉的身份还是复数，欧拉的公式似乎始终如一 罪， 一世 和 Ë参与其中。这是一个功能强大的工具，精通它会带来巨大的回报，因此，它是“数学中最杰出的公式”的正确候选者。